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Problem 1019 >> 求比n小的数中,与n互质的数的个数求比n小的数中,与n互质的数的个数 - 交流讨论 - 信息学奥林匹克竞赛
crxis @ 2014-07-09 22:42:36
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要出现n,那么只可能为1+(n-1)、2+(n-2)、3+(n-3)...(n-1)+1
在序列中出现的数对中没有不互质的
考虑了下,从S1序列起,1和1是互质的,那么接下来出现的数中,必为上一个序列的数或者插入一个新的和,假设这个和为x,x=a+b,a、b互质的话,那么必有a、x互质&&b、x互质,那么新序列也必定相邻互质,所以所有的序列都必定满足相邻的两个数互质
又仔细看了下,发现,每一个互质的数对都出现了,为什么?往上推导下看看
拿3、8作为例子,3+8=11在序列S11中出现了,那么3、8相邻这种情况出现的前提条件必然是3、5相邻,3、5相邻这种情况出现的前提条件必然是3、2相邻,3、2相邻这种情况出现的前提条件必然是1、2相邻,1、2相邻这种情况出现的前提条件必然是1、1相邻,那么我们就又回到了S1序列,仔细考虑一下,对于一个不互质的数对(a,b),其辗转相减必然会出现1、1,那么对于n的分解数对,所有不互质的情况都会出现,并且只会出现一次(数对顺序倒过来算为不同数对),那么问题就转化成了求n的分解数对中,互质的对数的个数,对于n=a+b,假如a与b互质,那么n与a必定互质,所以问题再度转化:求比n小的数中,与n互质的数的个数,数据达到了10^10,欧拉函数模版。
时间复杂程度:O(√n)
RobertRuisy @ 2020-07-23 12:28:58
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